Turunan Trigonometri Pengertian dan Contoh Soal

Definisi

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

·         y' adalah simbol untuk turunan pertama

·         y’’ adalah simbol untuk turunan kedua

·         y’’’ adalah simbol untuk turunan ketiga

·         dst

·         simbol lainnya selain y’ dan y’’ adalah   dan

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan

Dimana  maka hasilnya :

Turunan Trigonometri dasar

y = sin x maka y’ = cos x

y = cos x maka y’ = – sin x

y = tan x maka y’ = sec² x

y = cot x maka y’ = -csc² x

y = sec x maka y’ = sec x tan x

y = csc x  maka y’ = -csc x cot x

Sifat-sifat

y = uv  maka y’ = u’v + uv’

  maka 

Contoh soal 1

Turunan pertama dari y = sin 2x adalah ….

Jawab :

y = sin 2x = 2 sin x cos x

maka u = 2 sin x  dan v = cos x

sehingga u’ = 2 cos x dan v’ = – sin x

maka bisa ditulis

y = uv

dan

y’ = u’v + uv’

y’ = 2 cos x cos x + 2 sin x (- sin x)

y’ = 2 cos² x – 2 sin² x

y’ = 2 (cos² x – sin² x)

y’ = 2 cos 2x

Dengan cara yang sama bisa kita simpulkan

y = cos 2x maka y’ = – 2 sin 2x

Secara umum bisa kita tulis

y = sin ax maka y’ = a cos ax

y = cos ax maka y’ = – a sin ax

y = tan ax maka y’ = a sec² ax

y = cot ax maka y’ = – a csc² ax

y = sec ax maka y’ = a sec ax tan ax

y = csc ax  maka y’ = – a csc ax cot ax

Contoh Soal 2

Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

u = 5 sin 3x + 4 maka u’ = 15 cos 3x

v = 2 sin 3x + 6 maka v’ = 6 cos 3x

Teorema Rantai

y = sin p(x) maka y’ = cos p(x).p'(x)

y = cos p(x) maka y’ = – sin p(x).p'(x)

y = tan p(x) maka y’ = sec² p(x).p'(x)

y = cot p(x) maka y’ = -csc² p(x).p'(x)

y = sec p(x) maka y’ = sec p(x) tan p(x).p'(x)

y = csc p(x) maka y’ = -csc p(x) cot p(x).p'(x)

Contoh Soal 3

f(x) = (x³ – 4x² + 6x – 7)⁸ maka f ‘(x) = …

Jawab :

f ‘(x) = 8(3x² – 8x + 6) (x³ – 4x² + 6x – 7)⁷ 

Contoh Soal 4

f(x) = sin⁹ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 9 sin⁸ x cos x

Contoh Soal 5

f(x) = 3 cos x maka f ' ( ^π/2) = ...

Jawab :

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

π=180
Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3