Pengertian Gradien Garis dan Koordinat Kartesius

Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Sistem Koordinat Kartesius

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Gradien

Rumus dasar :

Sekarang kita perhatikan rumus diatas. Y harus sendiri disebelah kiri dan tidak boleh ada angka selain satu didepannya. Misalnya tidak boleh 2y, 3y, -2y atau selebihnya. Pokoknya "y" harus "y", tidak boleh ada angka selain 1 didepannya.

Kemudian gradien adalah adalah m. "m"adalah angka didepan x.

Contoh 1 :

Contoh 2 :

Absis

Absis (bahasa Inggris: abscissa; bentuk jamak abscissae, abscissæ atauabscissas), di dalam matematika, adalah jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu-y. Absis merupakan unsur pertama dari pasangan terurut dari dua suku (x, y) pada sistem koordinat Kartesius untuk mengalamatkan suatu titik, di dalam sumbu sistem koordinat tegak lurus tetap. Absis juga dikenal sebagai koordinat "x" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis mendatar. Koordinat kedua, atau ordinat, juga dikenal sebagai koordinat "y" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis tegak.

Ordinat

Ordinat (bahasa Inggris: ordinate), di dalam matematika, adalah adalah jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu-x. Ordinat merupakan unsur kedua dari pasangan terurut dua suku (x, y) untuk mengalamatkan suatu titik, di dalam sumbu sistem koordinat tegak lurus tetap (dalam sistem koordinat Kartesius). Ordinat juga dikenal sebagai koordinat "y" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis vertikal. Koordinat pertama, atau absis, juga dikenal sebagai koordinat "x" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis tegak.

Kesimpulan

Dalam istilah dari pelajaran koordinat kartesius

absis elemen x, ordinat elemen y.
absis dan ordinat membentuk titik koordinat

contoh: titik A(4,-3), artinya absisnya 4, ordinatnya -3

Read More

Turunan Trigonometri Pengertian dan Contoh Soal

Definisi

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

·         y' adalah simbol untuk turunan pertama

·         y’’ adalah simbol untuk turunan kedua

·         y’’’ adalah simbol untuk turunan ketiga

·         dst

·         simbol lainnya selain y’ dan y’’ adalah   dan

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan

Dimana  maka hasilnya :

Turunan Trigonometri dasar

y = sin x maka y’ = cos x

y = cos x maka y’ = – sin x

y = tan x maka y’ = sec² x

y = cot x maka y’ = -csc² x

y = sec x maka y’ = sec x tan x

y = csc x  maka y’ = -csc x cot x

Sifat-sifat

y = uv  maka y’ = u’v + uv’

  maka 

Contoh soal 1

Turunan pertama dari y = sin 2x adalah ….

Jawab :

y = sin 2x = 2 sin x cos x

maka u = 2 sin x  dan v = cos x

sehingga u’ = 2 cos x dan v’ = – sin x

maka bisa ditulis

y = uv

dan

y’ = u’v + uv’

y’ = 2 cos x cos x + 2 sin x (- sin x)

y’ = 2 cos² x – 2 sin² x

y’ = 2 (cos² x – sin² x)

y’ = 2 cos 2x

Dengan cara yang sama bisa kita simpulkan

y = cos 2x maka y’ = – 2 sin 2x

Secara umum bisa kita tulis

y = sin ax maka y’ = a cos ax

y = cos ax maka y’ = – a sin ax

y = tan ax maka y’ = a sec² ax

y = cot ax maka y’ = – a csc² ax

y = sec ax maka y’ = a sec ax tan ax

y = csc ax  maka y’ = – a csc ax cot ax

Contoh Soal 2

Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

u = 5 sin 3x + 4 maka u’ = 15 cos 3x

v = 2 sin 3x + 6 maka v’ = 6 cos 3x

Teorema Rantai

y = sin p(x) maka y’ = cos p(x).p'(x)

y = cos p(x) maka y’ = – sin p(x).p'(x)

y = tan p(x) maka y’ = sec² p(x).p'(x)

y = cot p(x) maka y’ = -csc² p(x).p'(x)

y = sec p(x) maka y’ = sec p(x) tan p(x).p'(x)

y = csc p(x) maka y’ = -csc p(x) cot p(x).p'(x)

Contoh Soal 3

f(x) = (x³ – 4x² + 6x – 7)⁸ maka f ‘(x) = …

Jawab :

f ‘(x) = 8(3x² – 8x + 6) (x³ – 4x² + 6x – 7)⁷ 

Contoh Soal 4

f(x) = sin⁹ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 9 sin⁸ x cos x

Contoh Soal 5

f(x) = 3 cos x maka f ' ( ^π/2) = ...

Jawab :

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

π=180
Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3

Read More

Integral

integral adalah anti/invers/kebalikan dari differensial

1.   ∫ k x^n dx = k/(n+1) x ^ (n+1) + C

Contoh:

• ∫ 7x^7 dx = ⅞ x^8 + C
• ∫ 3x² + x dx = x³ + ½x² + C

2.   ∫ k dx = kx + C

Contoh:

• ∫ dx = x + C
• ∫ 4 dx = 4x + C

3.   ∫ sin (ax + b) dx = -(1/a) cos (ax + b) + C

4.   ∫ cos (ax + b) dx =  (1/a) sin (ax+b) + C

Contoh:

• ∫ sin 2x dx = -½ cos 2x + C
• ∫ cos ( 3x-1) dx = ⅓ sin ( 3x-1) + C

5.   ∫ [f(x)]^n f’(x) dx = [1/(n+1)]  [f(x)] ^ (n+1) + C

Contoh:

Tentukan ∫2x √(x²-1) dx

Jawab:

Misal f(x)= x²-1 → f’(x)= 2x

maka

• ∫ 2x √(x²-1) dx = ∫ [f(x)]^½ f’(x) dx
• ∫ 2x √(x²-1) dx = [1/(½+1)]  [f(x)] ^ (½+1) + C
• ∫ 2x √(x²-1) dx = (2/3) (x²-1) ^ (3/2) + C

6.   ∫ sin^n x cos x dx = [1/(n+1)] sin ^ (n+1) x + c

Contoh:

• ∫ sin x cos x dx = ½ sin²x + c

7.   ∫ cos^n x sin x dx = -[1/(n+1)]cos ^ (n+1) x + c

Contoh:

• ∫ cos² x sin x dx = -⅓ cos³x + c

8.   ∫ (1/x) dx = ln x + C

9.   ∫ e^x dx = e^x + C

RUMUS INTEGRAL TRIGONOMETRI DASAR

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ cos x dx = sin x + c

∫ tan x dx = ln│sec x│+ c

∫ cot x dx = ln │sin x│+ c

∫ sec x dx = ln │sec x + tan x│+ c

∫ csc x dx = ln │csc x – cot x│+ c

∫ sec²x dx = tan x + c

∫ csc²x dx = -cot x + c

∫ sec x tan x dx = sec x + c

∫ csc x cot x dx = -csc x = c

INTEGRAL PARSIAL

∫ u dv = uv - ∫v du

Contoh:

Tentukan ∫x sin x dx !

Jawab:

Misal

x = u → dx = du

sin x dx = dv → -cos x = v

maka

∫x sin x dx = -x cos x +∫  cos x  dx

∫x sin x dx = -x cos x  + sin x + c

INTEGRAL SUBTITUSI

Contoh:

Tentukan ∫ (3x + 1)³ dx

Jawab

Misal 3x + 1 = u → 3 dx = du → dx = ⅓ du

∫(3x + 1)³ dx = ∫ ⅓ u³ du = (1/12) u^4 + c = (1/12) (3x+1)^4 + c

Read More