Pengertian Gradien Garis dan Koordinat Kartesius

Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Sistem Koordinat Kartesius

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Gradien

Rumus dasar :

Sekarang kita perhatikan rumus diatas. Y harus sendiri disebelah kiri dan tidak boleh ada angka selain satu didepannya. Misalnya tidak boleh 2y, 3y, -2y atau selebihnya. Pokoknya "y" harus "y", tidak boleh ada angka selain 1 didepannya.

Kemudian gradien adalah adalah m. "m"adalah angka didepan x.

Contoh 1 :

Contoh 2 :

Absis

Absis (bahasa Inggris: abscissa; bentuk jamak abscissae, abscissæ atauabscissas), di dalam matematika, adalah jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu-y. Absis merupakan unsur pertama dari pasangan terurut dari dua suku (x, y) pada sistem koordinat Kartesius untuk mengalamatkan suatu titik, di dalam sumbu sistem koordinat tegak lurus tetap. Absis juga dikenal sebagai koordinat "x" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis mendatar. Koordinat kedua, atau ordinat, juga dikenal sebagai koordinat "y" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis tegak.

Ordinat

Ordinat (bahasa Inggris: ordinate), di dalam matematika, adalah adalah jarak tegak lurus suatu titik dari sumbu-x. Ordinat merupakan unsur kedua dari pasangan terurut dua suku (x, y) untuk mengalamatkan suatu titik, di dalam sumbu sistem koordinat tegak lurus tetap (dalam sistem koordinat Kartesius). Ordinat juga dikenal sebagai koordinat "y" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis vertikal. Koordinat pertama, atau absis, juga dikenal sebagai koordinat "x" suatu titik, yang ditunjukkan pada garis tegak.

Kesimpulan

Dalam istilah dari pelajaran koordinat kartesius

absis elemen x, ordinat elemen y.
absis dan ordinat membentuk titik koordinat

contoh: titik A(4,-3), artinya absisnya 4, ordinatnya -3

Read More

Perbedaan Kalimat Verbal dan Nominal

Ada 2 jenis kalimat dalam bahasa Inggris yaitu kalimat nominal (predikat tidak menggunakan VERB) kalimat verbal (predikat menggunakan VERB). Jadi, dalam sebuah kalimat bahasa inggris jika kalimat tersebut sudah menggunakan To Be maka tidak ada Verb dan begiru pula sebaliknya jika dalam kalimat sudah menggunakan Verb maka tidak ada ToBe didalamnya.

Memang ada beberapa kalimat yang menggunakan To Be dan Verb dalam satu kalimat tetapi itu akan merubah arti kalimat tersebut (misal dari arti kalimat aktif ke kalimat pasif). Agar dapat lebih jelas silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini:

I.                    Kalimat Nominal (Nominal Sentence)

Kalimat Nominal (Nominal Sentence) adalah kalimat yang predikatnya bukan kata kerja atau dengan kata lain kalimat nominal adalah kalimat yang predikatnya berupa tobe. Penggunaan tobe ini tergantung dari penggunaan tenses dan tergantung dari Subjek kalimatnya (jamak atau tunggal). Jika kalimat tersebut adalah kalimat Simple Present Tense maka tobe yang harus digunakan adalah AM, IS dan ARE. Tobe bisa diartikan adalah atau bisa juga tidak diartikan, tobe muncul karena tidak ada Verb (kata kerja) dalam kalimat. Mari kita lihat contohnya dalam kalimat dibawah ini:

1. They are soldiers

(Mereka adalah tentara)

       2. I am a student.

          (Saya adalah seorang siswa)

       3. We are dancers.

          (Kami adalah penari)

       4. You are clever.

          (Kamu pintar)

        5. They are beautiful.

          (Mereka cantik)

        6. He is in the classroom.

           (Dia laki-laki ada di dalam kelas)

Kemudian jika kalimat tersebut adalah Simple Past Tense maka tobe yang harus digunakan adalah WAS and WERE. Coba lihat dalam contoh kalimat dibawah ini:

1. I was a student last year.

(Saya adalah seorang siswa tahun lalu)

2. They were teacher last month.

(Mereka adalah guru bulan lalu)

3. You were beautiful

(Kamu cantik)

4. He was in the hospital yesterday.

(Dia laki-laki berada di rumah sakit kemarin)

5. Tommy was in his home last night.

(Tommy berada di rumahnya semalam)

Dari contoh kalimat di atas semua kalimat tidak mengandung kata kerja melainkan menggunakan tobe yang disesuaikan dengan tensesnya dan subjek dalam kalimatnya. Dan biasanya tobe diikuti kata selain kata kerja (verb) contohnya: kata benda (noun) seperti student, soldier; kata sifat (adjective) seperti: beautiful, clever dan kata keterangan(adverb) seperti: the classroom, the kitchen. Sehingga dengan demikian kalimat tersebut disebut kalimat nominal (nominal sentence).

I.                    Kalimat Verbal (Verbal Sentence)

Kalimat Verbal (Verbal Sentence) adalah kalimat yang mengandung kata kerja (verb), atau dengan kata lain kalimat verbal itu adalah kalimat yang predikatnya adalah kata kerja (verb). Sebagai contoh adalah kalimat dalam Simple Present Tense:

• I go to school every morning.

(Saya pergi ke sekolah setiap pagi)

• She studies English in the class.

(Dia perempuan belajar bahasa Inggris di kelas)

• You play football in the yard.

(Kami bermain sepak bola di halaman)

• We finish their homework.

(Mereka menyelesaikan pekerjaan rumahnya)

• Fikri speaks English fluently

(Fikri berbicara bahasa Inggris dengan lancar)

Mari kita lihat contoh lain dari kalimat verbal dalam bahasa inggris. Dibawah ini adalah contoh kalimat verbal di dalam Simple Past Tense:

• Rizki sent me two letters yesterday.

(Rizki mengirimiku dua surat kemarin)

• The students played at the school yard.

(Murid-murid tersebut bermain di halaman sekolah)

• He got much money.

(Dia laki-laki mendapatkan banyak uang)

• The teacher wrote on the whiteboard.

(Guru tersebut menulis di papan tulis)

• Ali went to Jakarta last night.

(Ali pergi ke Jakrta tadi malam)

Dari contoh kalimat diatas dapat kita simpulkan bahwa semua kalimat diatas menggunakan kata kerja (verb) sebagai predikatnya yaitu: go, study, play, finish, speak, studied, went, dst. Sehingga dengan demikian kalimat tersebut disebut kalimat verbal (verbal sentence).

Demikian sedikit perbedaan kalimat verbal dan nominal dalam bahasa Inggris. Dan dapat disimpulkan bahwa dalam kalimat bahasa Inggris jika suatu kalimat sudah menggunakan verbmaka tidak menggunakan tobe begitu juga sebaliknya jika kalimat tersebut menggunakantobe maka tidak ada verb didalamnya.

Tetapi dalam beberapa kasus terdapat kalimat yang didalamnya menggunakan tobe dan verb secara bersamaan tetapi itu akan merubah arti kalimat tersebut

source: tertera pada gambar

Read More

Turunan Trigonometri Pengertian dan Contoh Soal

Definisi

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

·         y' adalah simbol untuk turunan pertama

·         y’’ adalah simbol untuk turunan kedua

·         y’’’ adalah simbol untuk turunan ketiga

·         dst

·         simbol lainnya selain y’ dan y’’ adalah   dan

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan

Dimana  maka hasilnya :

Turunan Trigonometri dasar

y = sin x maka y’ = cos x

y = cos x maka y’ = – sin x

y = tan x maka y’ = sec² x

y = cot x maka y’ = -csc² x

y = sec x maka y’ = sec x tan x

y = csc x  maka y’ = -csc x cot x

Sifat-sifat

y = uv  maka y’ = u’v + uv’

  maka 

Contoh soal 1

Turunan pertama dari y = sin 2x adalah ….

Jawab :

y = sin 2x = 2 sin x cos x

maka u = 2 sin x  dan v = cos x

sehingga u’ = 2 cos x dan v’ = – sin x

maka bisa ditulis

y = uv

dan

y’ = u’v + uv’

y’ = 2 cos x cos x + 2 sin x (- sin x)

y’ = 2 cos² x – 2 sin² x

y’ = 2 (cos² x – sin² x)

y’ = 2 cos 2x

Dengan cara yang sama bisa kita simpulkan

y = cos 2x maka y’ = – 2 sin 2x

Secara umum bisa kita tulis

y = sin ax maka y’ = a cos ax

y = cos ax maka y’ = – a sin ax

y = tan ax maka y’ = a sec² ax

y = cot ax maka y’ = – a csc² ax

y = sec ax maka y’ = a sec ax tan ax

y = csc ax  maka y’ = – a csc ax cot ax

Contoh Soal 2

Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

u = 5 sin 3x + 4 maka u’ = 15 cos 3x

v = 2 sin 3x + 6 maka v’ = 6 cos 3x

Teorema Rantai

y = sin p(x) maka y’ = cos p(x).p'(x)

y = cos p(x) maka y’ = – sin p(x).p'(x)

y = tan p(x) maka y’ = sec² p(x).p'(x)

y = cot p(x) maka y’ = -csc² p(x).p'(x)

y = sec p(x) maka y’ = sec p(x) tan p(x).p'(x)

y = csc p(x) maka y’ = -csc p(x) cot p(x).p'(x)

Contoh Soal 3

f(x) = (x³ – 4x² + 6x – 7)⁸ maka f ‘(x) = …

Jawab :

f ‘(x) = 8(3x² – 8x + 6) (x³ – 4x² + 6x – 7)⁷ 

Contoh Soal 4

f(x) = sin⁹ x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 9 sin⁸ x cos x

Contoh Soal 5

f(x) = 3 cos x maka f ' ( ^π/2) = ...

Jawab :

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

π=180
Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3

Read More